노크(Nokk) 의 속도를 계산해보자

2020년 2월 14일

겨울왕국2에 새롭게 등장하는 마법적 존재인 정령들. 그중 물의 정령인 노크는 말의 모습을 하고있고 엘사가 먼거리를 이동시 자주 타고다니는 모습을 보여주기도 한다. 이번 포스트에서는 겨울왕국2 속 노크의 속력을 계산해보자.

노크의 속도는 2편 후반부의 댐이 무너지고 흘러오는 시간과 그것을 추격해오는 노크를 비교해보면 대략적으로 계삭할수 잇다. 댐의 높이와 엘사가 이동한 거리를 이용할 것이므로 우선 이 두가지를 먼저 계산해 보도록 하자.

1. 댐의 높이 계산

일단 안나의 키가 165cm 이라는 것은 알고있다. 따라서 윗그림에 나와있는 것처럼 댐의 장식물에서 바닥부터 표시된 곳까지의 높이가 대략 1.65m 라는것을 알수 있다.

그리고 이 1.65m 높이에 해당하는 장식물의 높이를 이용하여 윗 그림에 나오있는 댐의 입구쪽에 있는 큰 장식물의 높이를 알수있다.

위 그림에서 보듯이 1.65m의 장식이 6개 정도 들어갈 크기니까 저 오른쪽의 큰 장식물의 높이는 대략 10m 정도가 된다.

그리고 영화 초반부에 나온 댐의 전체 장면. 이전 그림에서 우리는 위 그림에 표시된 큰 장식물의 높이가 대략 10m 정도 된다는 것을 알았다. 이것을 눈금삼아 댐 전체의 높이를 측정해 보도록 하자.

물이 차있는 곳부터 수면까지 대략 6개의 눈금이 들어가는 것을 알수있다. 따라서 일단 60m. 여기에 카메라가 살짝 줌인되서 생긴 원근효과와 원래 강의 깊이도 어느정도 있을 것이므로 대략적으로 전체적인 댐의 높이는 70m 라는 결론을 내릴수 있다.

2. 이동거리 계산

이번에는 엘사와 댐이 터진후 물의 이동거리를 계산해보자. 일단 엘사는 아토할란 최심부까지 들어갔으므로 아마 위짤에서 보이는 노란색 경로를 타고왔을 것이다. 그리고 지도에 나온 강줄기로 보건데 댐에서 터진 물은 아마 빨강색 선을 따라 왔을 것이다. 해당 경로의 거리를 측정해 보면 엘사의 이동거리가 댐의 물의 이동거리보다 약 1.8배 정도 길다.

3. 속력 계산

지금까지 알아낸 정보는

댐의 높이 : 70m
엘사의 이동거리가 댐의 물보다 약 1.8배 길다

이다. 이 정보를 이용해 댐의 속력을 계산해보자.

계산 방식은 대략 이러하다.

물이 흐르는 평균속력을 구한다.
영화 내용상 엘사와 댐에서 터진 물이 아렌델에 거의 동시에 도착하였다.
그런데 엘사의 이동거리가 댐의 약 1.8배이므로
만약 물의 평균 속력을 구할수 있다면 그것의 1.8배가 노크의 속력.

이런 방식으로 구하는 것이다. 그렇다면 이제 물의 평균 속력만 구하면 노크의 속력을 구할수 있게 된다. 그리고 위 짤에서 보이듯 댐이 터져서 흐를때 가장 앞쪽의 속력은 대략 일정하다.

우선 fjord 지형의 특성상 이것은 quasi 1-d 문제에 해당한다. 즉 간단히 1차원 흐름으로 생각하기로 하고 위 그림에서 보이는 것처럼 댐이 터지는것이 아닌 댐이 순간적으로 사라지는 것으로 여기기로 한다.

마찰이 없는 경우

만약 마찰이 없으면 계산이 아주 간단해진다.

g = 중력가속도 = 10m/s^2
h = 댐의 높이 = 70m 로 놓는다면

댐의 가장 앞쪽의 속력 v 는 간단히 v = 2sqrt(gh) 로 주어지게 된다. (Ritter’s equation) 수치를 대입해보면 물의 속력은 190km/h, 따라서 노크의 속력은 이것의 1.8배인 342km/h 가 된다.

마찰이 있는 경우

마찰이 있는 경우는 굉장히 복잡해진다. 능력이 안되서 여기까진 계산할수 없지만 일단 위치상 fjord 의 대부분이 북쪽 산 위에 위치해 있다. 따라서 얼어있거나 눈이 쌓여있을 가능성이 높고, 따라서 마찰계수도 작다고 가정해 볼수 있다.

그리고 조사해본 결과 몇몇 논문에서는

(Hogg, A.J., Pritchard, D., 2004. The effects of hydraulic resistance on dam-break and other shallow inertial flows)
(Peter Nielsen, 2018, Bed shear stress, surface shape and velocity field near the tips of dam-breaks, tsunami and wave runup)

마찰이 있는 경우 속력이 대략 0.6 ~ 0.7 배로 감소한다고 발표하였다. 마찰이 작을 경우를 가정해서 대략 0.7배 정도로 보면 대략 240km/h 정도의 속력이 나온다. 존문가로 더이상은 구하기 귀찮으므로 자세히 아는 사람은 더 정확하게 계산을 시도해 보면 좋겠다.

따라서 노크의 속력은 약 240 ~ 340 km/h 사이라고 결론지을수 있다.