얼음조각의 크기와 아렌델의 습도를 계산해보자

Into the unknown 마지막 부분에서 엘사는 정령의 부름에 응답하며 힘을 개방하고 주변의 물들을 얼려 정령모양의 얼음조각을 만들게 된다. 소설상 묘사로는 주변의 모든 습기들을 얼음으로 만들었다고 묘사가 나오는데, 그렇다면 이것들을 통하여 아렌델의 습도가 얼마나 되는지 역으로 계산할 수 있을 것이다. 이것을 통하여 아렌델의 습도를 계산해보자.

1. 계산전략

뭐 전체적인 계산방법은 그다지 복잡하지는 않다. 얼음이 공간에 균일하게 퍼져있다고 가정한뒤, 한 얼음의 크기, 부피를 구한후 각 얼음간의 사이를 구하면 얼음이 공간에 얼마나 촘촘하게 박혀있는지를 알 수 있을 것이다. 이것을 통하여 얼음의 밀도를 구한면 습도를 계산할 수 있게 된다. 요약하면

1. 각 얼음조각의 평균 거리를 구한다.
2. 각 얼음조각의 부피를 구한다.
3. 이것을 통해 얼음의 밀도 (수증기의 밀도)를 계산한다.
4. 이것을 통해 습도를 계산할수 있다.

이런 과정이 된다.

1. 얼음조각의 평균거리

얼음조각의 평균거리는 위에 나온 장면을 통해 구할수 있다. 얼음조각은 대략적으로 균등하게 분포해있고, 위 짤의 Air Fire Water Earth 4개는 거의 같은 평면에 위치해 있다. 따라서 이것들의 평균거리를 구하고, 이것을 얼음의 3차원에서의 평균거리로 세팅하기로 한다. 뭐 전체적으로 rough 하게 계산하는 것이니 이정도만 따지도록 하겟다.

일단 정령님의 키 데이터 (170cm)를 바탕으로 신체사이즈를 측정해보면 검지손가락의 길이가 7.23cm이 나온다. 그리고 이것을 통해 각각의 얼음조각사이의 거리를 알수 있다.

하지만 단순히 이걸로 평균을 내면 안되는데, 왜냐면 이 장면에서 정령님이 정면을 바라보고 있지 않기 때문이다. 스크린은 평면이기 떄문에 그런데, 간단히 요약하면 위 짤과 같다.

따라서 정령님이 얼마정도 몸이 돌아가있는지 알아야 되는데, 위 짤은 인물이 약 20도 정도 회전해있을때 나오는 인체구도이다.

참고사이트: https://justsketch.me/

대략적으로 영화장면과 비슷하다. 따라서 이 각도에 의한 보정을 다 해주면 얼음사이의 평균거리는 대략 27.3 cm 정도가 나오게 된다.

2. 얼음조각의 부피

이제 얼음 사이의 거리를 알았으니 각 얼음의 크기가 얼마나 되는지 구해야 한다.

일단 얼음조각의 한변의 길이를 구해보자. 검지손가락과 대조해보면 얼음조각의 한변의 길이는 5.81cm 이다. 이제 부피를 구해야 되는데 얼음조각 모양이 그리 간단히 생기지 않았다.

따라서 이것을 토대로 우리는 전체 얼음조각의 모양이 대략 다음과 같다고 유추할수 있다.

얼음 모양이 위와 같이 생겼다고 가정해보자. 그리고 이제 우리가 해야할 작업은 실제 부피를 계산학 위해 각 부분의 길이를 대략적으로 구하는 일이다.

이 작업을 위하여 각 면을 위 또는 옆에서 바라보았을때의 projection 한 도면을 그려보도록 하자. 위의 나온 모양을 토대로 계산을 해보면 다음과 같은 도면을 얻게 된다.

위에서 바라봤을때)

옆에서 바라봣을때)

그리고 전체부피를 8개로 나눈다면, 우리는 다음과 같은 각뿔의 부피를 계산한다음 8배를 해주면 된다.

즉, 전체 얼음조각의 모양중 1/8을 먼저 계산하고 8배를 해주면 된다. 이때 전체가 간단히 삼각뿔이라고 놓으면 부피 계산하는게 매우 간단해진다.

이 방식으로 계산한 얼음조각의 최종 부피는 42.6cm³ 이다.

3. 습도계산

지금까지 알아낸 사실은

1. 얼음조각의 평균거리 = 27.3cm
2. 얼음조각의 부피 = 42.6 cm³

이므로 최종적인 수증기의 밀도는 0.0021 kg/m³ 이다. (계산을 간단하기 하기위해 물의 밀도 = 1g/cm³ 이라고 가정하였다. 사실 정확한 값을 써도 별 차이는 안난다.)

그리고 노르웨이의 가을 새벽 기온이 대략 1도 근처이다. 따라서 이것을 수증기 -> 습도계산기에 넣고 계산하면

대략적으로 습도가 40% 정도 나오게 된다. 일반적으로 바다 근처 마을은 평균 습도가 약 7~80 % 정도 나오는데, 이것을 토대로 추측해 보면 엘사는 전체 수증기의 약 절반 정도를 얼렸다고 볼 수 있다.

[추가사항]

어떤분이 지적해주셔서 알았는데, 밀도 계산식에서 단위변환을 할 때 1000을 곱해주는걸 뺴먹었다. 그래서 최종적인 수증기의 밀도는 0.0021 kg/m³ → 2.1 kg/m³ 이 되야한다. 그리고 이 수증기 밀도를 습도 변환기에 계산해서 넣을 경우

40000% 라는 매우 높은 습도가 나오게 된다.

어떻게 습도가 100%를 넘을 수 있을까? 사실 이런 상대습도의 정의때문에 그렇다.

상대습도는 (현재공기중의 물의양) / (포화수증기량) 이런식으로 정의된다. 현재공기중의 물의 양은 말그대로 공기중에 있는 물의 총 량이고, 포화수증기량은 열적평형 상태에서의 공기중 최대로 있을수 있는 물의 양을 의미한다.

따라서 현재 공기중의 물의 양이 포화수증기량 보다 많다면 습도가 100% 넘는 수치가 나올 수 있는 것이다.

그러면 어떻게 포화수증기보다 높은 양의 물이 있을수 있을까? 답은 열린계 (Open system)라면 가능하다. 포화 수증기는 어떠한 닫힌 계에서 최대로 있을 수 있는 물의 양인데, 만약 열린계(외부에서 수분의 공급이 계속 있는 시스템)의 경우 포화수증기 값에 상관없이 계산해도 얼음을 만들수 있게 되버린다. 그래서 엄청나게 높은 공기중 물의 양이 가능하게 되는 것이다.

간단히 예를들면 어떤 닫힌 상자안에 호스로 물이 외부에서 끊임없이 공급된다면 무한으로 얼음을 만들수 있을 것이다.

그래서 이것으로 따져보면 엘사는 마법으로 물을 얼릴떄 공기 중 수증기 + 바다에서 끊임없이 공급되는 물 까지 얼음으로 만들었다고 볼 수 있다. 사실상 바다에서 공급되는 물의 양은 무한이므로 얼음도 끊임없이 만들 수 있을 것이다. 저렇게 높은 상대습도는 이런식으로 해석할 수 있는것이다.

요약

1. 얼음조각 사이의 거리는 약 27.3cm
2. 얼음조각의 부피는 약 42.6cm³
3. 엘사가 얼린 수증기는 전체 수증기의 절반 정도

• 오류수정 이후의 계산을 하면 상대습도 40000% 의 높은 수치가 나오는데, 이것은 마법으로 얼음을 만들때 공기중 수증기뿐만이 아니라 바닷물까지 얼음으로 만들었을 경우 가능한 수치가 된다.